ધારો કે $f$ એ એક વિધેય છે જે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે વિકલનીય છે. જો $f(2) = -4$ અને તમામ $x \in [2, 4]$ માટે $f^{\prime}(x) \geq 6$ હોય, તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $f$ એ $(1,6)$ પર બે વાર વિકલનીય વિધેય છે. જો $f(2)=8$,$f'(2)=5$,$f'(x) \geq 1$ અને $f''(x) \geq 4$ બધા $x \in (1,6)$ માટે હોય,તો:

મધ્યક માન પ્રમેય (Mean Value Theorem) માં,$f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$. જો $a = 4$,$b = 9$ અને $f(x) = \sqrt{x}$ હોય,તો $c$ ની કિંમત શોધો:

જો $f(x) = x^{3}$ અને $g(x) = x^{3} - 4x$ અંતરાલ $[-2, 2]$ માં હોય,તો નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(a)$ $f(x)$ અને $g(x)$ મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) નું પાલન કરે છે.
$(b)$ $f(x)$ અને $g(x)$ બંને રોલના પ્રમેય (Rolle's Theorem) નું પાલન કરે છે.
$(c)$ માત્ર $g(x)$ રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
આમાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?

અંતરાલ $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ માં વિધેય $f(x) = \log(\sin x)$ માટે લાંગ્રાજના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ નું મૂલ્ય શું થશે?

ધારો કે $f^{\prime}(0)=-3$ અને $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે $f^{\prime}(x) \leq 5$ છે. તો $f(2)$ ની શક્ય મહત્તમ કિંમત કેટલી હોઈ શકે?