मान लीजिए y = y(x) अवकल समीकरण (1 + sin x) fr | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + \sin x) \frac{dy}{dx} + (y + 1) \cos x = 0$ है।चरों को अलग करने पर, हमें $\frac{dy}{y+1} = -\frac{\cos x}{1+\sin x} dx$

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$\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + \sin x) \frac{dy}{dx} + (y + 1) \cos x = 0$ है।चरों को अलग करने पर, हमें $\frac{dy}{y+1} = -\frac{\cos x}{1+\sin x} dx$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx$ प्राप्त होता है।इससे $\ln|y+1| = -\ln|1+\sin x| + C$ प्राप्त होता है, जिसे $\ln|y+1| + \ln|1+\sin x| = C$ लिखा जा सकता है।लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करने पर, $(y+1)(1+\sin x) = K$ प्राप्त होता है, जहाँ $K = e^C$ है।प्रारंभिक शर्त $y(0) = 0$ का उपयोग करने पर, $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर: $(0+1)(1+\sin 0) = K$, जिससे $1(1+0) = K$, अर्थात $K = 1$ प्राप्त होता है।अतः, विशिष्ट हल $(y+1)(1+\sin x) = 1$ है।यदि वक्र $(\alpha, -\frac{1}{2})$ से होकर गुजरता है, तो $x = \alpha$ और $y = -\frac{1}{2}$ रखने पर:$(-\frac{1}{2} + 1)(1+\sin \alpha) = 1$.$\frac{1}{2}(1+\sin \alpha) = 1$.$1+\sin \alpha = 2$.$\sin \alpha = 1$.इसलिए, $\alpha = \frac{\pi}{2}$।

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