मान लीजिए $S = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \{0, 1, 2, 3, 4 \} \text{ और } A^2 - 4A + 3I = 0 \right\}$ एक $2 \times 2$ आव्यूहों का समुच्चय है। तो $S$ में ऐसे कितने आव्यूह हैं, जिनके लिए विकर्ण तत्वों का योग $4$ है?

यदि $A$ एक $2 \times 2$ आव्यूह है, जहाँ $\operatorname{det} A = -21$ और $A^3$ का ट्रेस $2024$ है, तो $A$ का ट्रेस ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $A$ और $B$ क्रमशः $\begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix}$ के रूप के वास्तविक आव्यूह हैं।
कथन $1$: $AB - BA$ हमेशा एक व्युत्क्रमणीय (invertible) आव्यूह है।
कथन $2$: $AB - BA$ कभी भी एक तत्समक (identity) आव्यूह नहीं होता है।

मान लीजिए $P$ एक वर्ग आव्यूह है ताकि $P^2 = I - P$ हो। $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in N$ के लिए,यदि $P^\alpha + P^\beta = \gamma I - 29 P$ और $P^\alpha - P^\beta = \delta I - 13 P$ है,तो $\alpha + \beta + \gamma - \delta$ का मान $........$ है।

मान लीजिए $X = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ और $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ है। $k \in N$ के लिए,यदि $X^{T} A^{k} X = 33$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f:[a, b] \rightarrow \left[-\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{2}\right]$ जो $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+\sin x & 1 \\ 1+\cos x & 1 & 1 \end{array} \right|$ द्वारा परिभाषित है, एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) है, तो: