माना S = {z in mathbb{C} : z^2 + sqrt{6}iz - | vedclass

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Question

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $z^2 + \sqrt{6}iz - 3 = 0$ है।द्विघात सूत्र $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:$z = \frac{-\sqrt{6}

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$162$

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(A) दिया गया द्विघात समीकरण $z^2 + \sqrt{6}iz - 3 = 0$ है।द्विघात सूत्र $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:$z = \frac{-\sqrt{6}i \pm \sqrt{(\sqrt{6}i)^2 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{-\sqrt{6}i \pm \sqrt{-6 + 12}}{2} = \frac{-\sqrt{6}i \pm \sqrt{6}}{2}$.अतः, मूल $z_1 = \frac{\sqrt{6}}{2}(1 - i)$ और $z_2 = \frac{\sqrt{6}}{2}(-1 - i)$ प्राप्त होते हैं।अब, प्रत्येक मूल के लिए $z^2$ की गणना करें:$z_1^2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}(1 - i)\right)^2 = \frac{6}{4}(1 - 2i + i^2) = \frac{3}{2}(1 - 2i - 1) = -3i$.$z_2^2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}(-1 - i)\right)^2 = \frac{6}{4}(1 + 2i + i^2) = \frac{3}{2}(1 + 2i - 1) = 3i$.अब, $z^8 = (z^2)^4$ की गणना करें:$z_1^8 = (-3i)^4 = (-3)^4 \cdot i^4 = 81 \cdot 1 = 81$.$z_2^8 = (3i)^4 = 3^4 \cdot i^4 = 81 \cdot 1 = 81$.इसलिए, $\sum_{z \in S} z^8 = z_1^8 + z_2^8 = 81 + 81 = 162$.

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $a \bar{a}$	$(A)$ $-\frac{\pi}{3}$
$(ii)$ $\arg \left(\frac{1}{\bar{a}}\right)$	$(B)$ $-i \sqrt{3}$
$(iii)$ $a - \bar{a}$	$(C)$ $2i / \sqrt{3}$
$(iv)$ $\operatorname{Im}\left(\frac{4}{3a}\right)$	$(D)$ $1$
	$(E)$ $\pi / 3$
	$(F)$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

माना $S = \{z \in \mathbb{C} : z^2 + \sqrt{6}iz - 3 = 0\}$ है। तो $\sum_{z \in S} z^8$ का मान ज्ञात कीजिए:

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