मान लीजिए P_1, P_2, P_3 त्रिभुज ABC के शीर्षो | vedclass

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Question

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a P_1 = \frac{1}{2} b P_2 = \frac{1}{2} c P_3$ द्वारा दिया जाता है। अतः, $P_1 = \frac{2\Delta}{a}, P_2

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{R}$

Vedclass · Answer

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a P_1 = \frac{1}{2} b P_2 = \frac{1}{2} c P_3$ द्वारा दिया जाता है। अतः, $P_1 = \frac{2\Delta}{a}, P_2 = \frac{2\Delta}{b}, P_3 = \frac{2\Delta}{c}$। इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\cos A}{P_1} + \frac{\cos B}{P_2} + \frac{\cos C}{P_3} = \frac{a \cos A}{2\Delta} + \frac{b \cos B}{2\Delta} + \frac{c \cos C}{2\Delta}$। ज्या नियम (sine rule) $a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर: $= \frac{2R \sin A \cos A + 2R \sin B \cos B + 2R \sin C \cos C}{2\Delta} = \frac{R(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}{2\Delta}$। सर्वसमिका $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ का उपयोग करने पर: $= \frac{R(4 \sin A \sin B \sin C)}{2\Delta}$। चूंकि $\Delta = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$, इसलिए $\sin A \sin B \sin C = \frac{\Delta}{2R^2}$। इसे प्रतिस्थापित करने पर: $= \frac{4R \Delta}{2\Delta (2R^2)} = \frac{4R}{4R^2} = \frac{1}{R}$।

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