ધારો કે f(x) = begin{cases} x^alpha ln x, & x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) $f(x)$ માટે $[0, 1]$ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:$1$. $f(x)$ એ $[0, 1]$ પર સતત હોવું જોઈએ.$2$. $f(x)$ એ $(0, 1)$ પર

Vedclass · Accepted Answer

$0.5$

Vedclass · Answer

(D) $f(x)$ માટે $[0, 1]$ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:$1$. $f(x)$ એ $[0, 1]$ પર સતત હોવું જોઈએ.$2$. $f(x)$ એ $(0, 1)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ.$3$. $f(0) = f(1)$.શરત $3$ તપાસતા: $f(1) = 1^\alpha \ln(1) = 0$ અને $f(0) = 0$. આમ,$f(0) = f(1) = 0$ એ કોઈપણ $\alpha$ માટે સાચું છે.શરત $1$ તપાસતા ($x=0$ આગળ સાતત્ય): આપણે $\lim_{x 	o 0^+} x^\alpha \ln x = 0$ ની જરૂર છે. આ લક્ષનું અસ્તિત્વ છે અને તે $0$ થાય છે જો અને માત્ર જો $\alpha > 0$ હોય.શરત $2$ તપાસતા ($(0, 1)$ પર વિકલનીયતા): $f'(x) = \alpha x^{\alpha-1} \ln x + x^{\alpha-1} = x^{\alpha-1}(\alpha \ln x + 1)$. આ કોઈપણ $\alpha$ માટે $x \in (0, 1)$ પર વ્યાખ્યાયિત છે.આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $\alpha = 0.5$ એ $\alpha > 0$ ની શરતને સંતોષે છે.

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} x^\alpha \ln x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$. જો $\alpha = $ હોય,તો $x \in [0, 1]$ માટે $f$ ને રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે.

Similar Questions

વિધેય $f(x)=x$ માટે અંતરાલ $[2,5]$ પર લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ પાડતા $C$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા કેટલી મળે?

જો $f:[-5,5] \rightarrow R$ એ વિકલનીય વિધેય હોય અને જો $f^{\prime}(x)$ ક્યાંય પણ શૂન્ય ન થતું હોય,તો સાબિત કરો કે $f(-5) \neq f(5).$

અંતરાલ $[0, 1]$ માં,લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય (Lagrange's Mean Value Theorem) નીચેનામાંથી કયા વિધેય માટે લાગુ પડતું નથી?

જો વિધેય $f(x) = x(x+3)e^{-x/2}$ એ $[-3, 0]$ માં રોલના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે, તો $f'(x) = 0$ નું એક બીજ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module