मान लीजिए f(x) = int_{1}^{x} sqrt{2 - t^2} dt | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{2 - t^2} dt$।लीबनीज़ समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:$f'(x) = \fra

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$\pm 1$

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(A) दिया गया है $f(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{2 - t^2} dt$।लीबनीज़ समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:$f'(x) = \frac{d}{dx} \int_{1}^{x} \sqrt{2 - t^2} dt = \sqrt{2 - x^2}$।दिया गया समीकरण $x^2 - f'(x) = 0$ है,जिसका अर्थ है $x^2 = f'(x)$।$f'(x)$ का मान रखने पर,हमें $x^2 = \sqrt{2 - x^2}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^4 = 2 - x^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x^4 + x^2 - 2 = 0$ मिलता है।मान लीजिए $u = x^2$ है। तो समीकरण $u^2 + u - 2 = 0$ बन जाता है।इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(u + 2)(u - 1) = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि $u = x^2$,इसलिए $x^2 = -2$ (जिसका कोई वास्तविक मूल नहीं है) या $x^2 = 1$ है।अतः,$x = \pm 1$।

मान लीजिए $f(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{2 - t^2} dt$ है। तो समीकरण $x^2 - f'(x) = 0$ के वास्तविक मूल हैं

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