ધારો કે $f(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{2 - t^2} dt$. તો સમીકરણ $x^2 - f'(x) = 0$ ના વાસ્તવિક બીજ શોધો.

જો $I=\int_{-a}^a(x^4-2x^2)dx$ હોય,તો $I$ એ $a=$ માટે ન્યૂનતમ છે.

$\int_0^{\pi / 2} \sin^8 x \, dx =$

$x \in R$ માટે,ધારો કે $\tan^{-1}(x) \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. તો $f: R \rightarrow R$ વિધેય,જે $f(x) = \int_0^{x \tan^{-1} x} \frac{e^{(t-\cos x)}}{1+t^{2023}} dt$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તેની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

અંતરાલ $[0, \pi]$ માં સમીકરણ $\frac{d}{dx} \int_{\cos x}^{\sin x} \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = 2\sqrt{2}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $x \cdot \sin(\pi x) = \int_{0}^{x^2} f(t) \, dt$ હોય,જ્યાં $f$ એ સતત વિધેય છે,તો $f(4)$ ની કિંમત શોધો.