मान लीजिए f(x) चार घात का एक बहुपद है जिसके च | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \left[ {1 + \frac{{f(x)}}{{{x^2}}}} ight] = 3$,इसका अर्थ है $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \fra

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(D) दिया गया है $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \left[ {1 + \frac{{f(x)}}{{{x^2}}}} ight] = 3$,इसका अर्थ है $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{f(x)}}{{{x^2}}} = 2$.चूंकि $f(x)$ चार घात का बहुपद है,मान लीजिए $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.सीमा के अस्तित्व के लिए और उसका मान $2$ होने के लिए,$e=0$,$d=0$ और $c=2$ होना चाहिए।अतः,$f(x) = ax^4 + bx^3 + 2x^2$.तब $f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 4x$.चूंकि $f(x)$ के चरम मान $x=1$ और $x=2$ पर हैं,इसलिए $f'(1) = 0$ और $f'(2) = 0$.$f'(1) = 4a + 3b + 4 = 0 \Rightarrow 4a + 3b = -4$.$f'(2) = 4a(8) + 3b(4) + 4(2) = 32a + 12b + 8 = 0 \Rightarrow 8a + 3b = -2$.दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: $(8a + 3b) - (4a + 3b) = -2 - (-4) \Rightarrow 4a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.$a = \frac{1}{2}$ को $4a + 3b = -4$ में रखने पर: $4(\frac{1}{2}) + 3b = -4 \Rightarrow 2 + 3b = -4 \Rightarrow 3b = -6 \Rightarrow b = -2$.अतः,$f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$.$f(2)$ का मान निकालने पर: $f(2) = \frac{1}{2}(16) - 2(8) + 2(4) = 8 - 16 + 8 = 0$.

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