मान लीजिए f(x) = x^2 + frac{1}{x^2} और g(x) = | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $h(x) = \frac{x^2 + \frac{1}{x^2}}{x - \frac{1}{x}}$.अंश को $(x - \frac{1}{x})^2 + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।अतः,$h(x) = \frac{(x

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$2\sqrt{2}$

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(C) दिया गया है $h(x) = \frac{x^2 + \frac{1}{x^2}}{x - \frac{1}{x}}$.अंश को $(x - \frac{1}{x})^2 + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।अतः,$h(x) = \frac{(x - \frac{1}{x})^2 + 2}{x - \frac{1}{x}} = (x - \frac{1}{x}) + \frac{2}{x - \frac{1}{x}}$.मान लीजिए $t = x - \frac{1}{x}$ है। चूंकि $x \in R - \{-1, 1, 0\}$,$t$ का मान $0$ को छोड़कर कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है।तब $h(t) = t + \frac{2}{t}$ है।जब $t > 0$ हो,तो $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$t + \frac{2}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{2}{t}} = 2\sqrt{2}$ है।समानता तब प्राप्त होती है जब $t = \frac{2}{t}$,अर्थात $t^2 = 2$,इसलिए $t = \sqrt{2}$ ($t > 0$ होने के कारण)।जब $t  0$ है। तब $h(t) = -u - \frac{2}{u} = -(u + \frac{2}{u}) \le -2\sqrt{2}$ है।अतः,$h(x)$ का स्थानीय न्यूनतम मान $2\sqrt{2}$ है।

मान लीजिए $f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}$ और $g(x) = x - \frac{1}{x}$,$x \in R - \{-1, 1, 0\}$ है। यदि $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ है,तो $h(x)$ का स्थानीय न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:

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माना $f(x) = \int\limits_0^x \frac{\sin t}{t} dt$ जहाँ $x > 0$ है। तब $f(x)$ के लिए:

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