मान लीजिए I_1 = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{ | vedclass

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Question

(D) अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में,हमारे पास $0  0$,$e^{-x^2}$ से गुणा करने पर $e^{-x^2}\sin(x) < e^{-x^2}$ प्राप

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$I$ और $II$ दोनों

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(D) अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में,हमारे पास $0  0$,$e^{-x^2}$ से गुणा करने पर $e^{-x^2}\sin(x) आगे,अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में,$1 + x > 1$ है। $e^{-x^2} > 0$ से गुणा करने पर,$e^{-x^2}(1 + x) > e^{-x^2}$ प्राप्त होता है। $0$ से $\frac{\pi}{2}$ तक समाकलन करने पर,हमें $I_3 > I_2$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $II$ सत्य है।चूंकि $I_1 इसलिए,$I$ और $II$ दोनों सत्य हैं।

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मान लीजिए कि $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। तो $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{12(3+[x])}{3+[\sin x]+[\cos x]} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\frac{3}{25} \int_0^{25 \pi} \sqrt{|\cos x - \cos^3 x|} \, dx =$

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} d x=$

$\int_0^{1000} e^{x-[x]} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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