मान लीजिए कि f(x),x = h पर अवकलनीय है। तो lim | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $L = \lim_{x 	o h} \frac{(x + h)f(x) - 2hf(h)}{x - h}$.चूंकि यह सीमा $x 	o h$ पर $\frac{0}{0}$ के अनिर्धारित रूप में है,इसलिए हम अंश औ

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$f(h) + 2hf'(h)$

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(A) मान लीजिए $L = \lim_{x 	o h} \frac{(x + h)f(x) - 2hf(h)}{x - h}$.चूंकि यह सीमा $x 	o h$ पर $\frac{0}{0}$ के अनिर्धारित रूप में है,इसलिए हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L'	ext{Hospital}$ नियम का उपयोग करेंगे।अंश का अवकलन: $\frac{d}{dx} [(x + h)f(x) - 2hf(h)] = (x + h)f'(x) + f(x)(1) - 0 = (x + h)f'(x) + f(x)$.हर का अवकलन: $\frac{d}{dx} (x - h) = 1$.अब,$x 	o h$ पर सीमा का मान रखने पर:$L = \lim_{x 	o h} [(x + h)f'(x) + f(x)] = (h + h)f'(h) + f(h) = 2hf'(h) + f(h)$.अतः,सही विकल्प $A$ है।

मान लीजिए कि $f(x)$,$x = h$ पर अवकलनीय है। तो $\lim_{x \to h} \frac{(x + h)f(x) - 2hf(h)}{x - h}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^{ - 1}}x - {{\tan }^{ - 1}}x}}{{{x^3}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \tan x \log \sin x = $

यदि $f(a) = 2$,$f'(a) = 1$,$g(a) = -3$,$g'(a) = -1$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \,\frac{f(a)g(x) - f(x)g(a)}{x - a} = $

$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /2} (\sec \theta - \tan \theta ) = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{{e^x} - {e^{\sin x}}}}{{x - \sin x}}} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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