मान लीजिए $f(x) = x^3 + px + 1$ है और निम्नलिखित तीन कथनों पर विचार करें:
$(i)$ $p \geqslant 0$ के लिए,$f(x) = 0$ का एक ऋणात्मक मूल है और $f(x)$ मोनोटोनिक है।
$(ii)$ $-1 < p < 0$ के लिए,$f(x) = 0$ का एक ऋणात्मक मूल है और $f(x)$ नॉन-मोनोटोनिक है।
$(iii)$ $p < -3/\sqrt[3]{4}$ के लिए,$f(x) = 0$ के तीन वास्तविक और भिन्न मूल हैं।
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

यदि ${a^2}{x^4} + {b^2}{y^4} = {c^6}$ है,तो $xy$ का अधिकतम मान क्या है?

मान लीजिए कि एक फलन $f(x)$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} \cos^{-1}(\mu) + x^2, & 0 < x < 1 \\ 4x, & x \geqslant 1 \end{cases}$. यदि $\mu$ का मान किस अंतराल में हो तो फलन $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान हो सकता है?

एक नियमित आयताकार पिरामिड की पार्श्व भुजा (lateral edge) $a \text{ cm}$ लंबी है। पार्श्व भुजा आधार के समतल के साथ $\alpha$ कोण बनाती है। $\alpha$ का वह मान जिसके लिए पिरामिड का आयतन अधिकतम है,है

मान लीजिए $\alpha = \sum_{k=1}^{\infty} \sin^{2k}\left(\frac{\pi}{6}\right)$. मान लीजिए $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ एक फलन है जो $g(x) = 2^{\alpha x} + 2^{\alpha(1-x)}$ द्वारा परिभाषित है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ (सत्य) है/हैं?
$(A)$ $g(x)$ का न्यूनतम मान $2^{7/6}$ है
$(B)$ $g(x)$ का अधिकतम मान $1 + 2^{1/3}$ है
$(C)$ फलन $g(x)$ एक से अधिक बिंदुओं पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है
$(D)$ फलन $g(x)$ एक से अधिक बिंदुओं पर अपना न्यूनतम मान प्राप्त करता है

मान लीजिए $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ एक फलन है। मान लीजिए $f$ दो बार अवकलनीय है,$f(0)=f(1)=0$ और $x \in[0,1]$ के लिए $f^{\prime \prime}(x)-2 f^{\prime}(x)+f(x) \geq e^x$ को संतुष्ट करता है।
$1.$ $0 < x < 1$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $0 < f(x) < \infty$
$(B)$ $-\frac{1}{2} < f(x) < \frac{1}{2}$
$(C)$ $-\frac{1}{4} < f(x) < 1$
$(D)$ $-\infty < f(x) < 0$
$2.$ यदि फलन $g(x) = e^{-x} f(x)$ अंतराल $[0,1]$ में अपना न्यूनतम मान $x=\frac{1}{4}$ पर प्राप्त करता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ के लिए $x \in (0, 1/4)$
$(B)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ के लिए $x \in (0, 1/4)$
$(C)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ के लिए $x \in (1/4, 1)$
$(D)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ के लिए $x \in (1/4, 1)$