मान लीजिए कि S सभी वास्तविक संख्याओं का समुच् | vedclass

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Question

(A) संबंध $R = \{ (a, b) : 1 + ab > 0 \}$ है।$1$. स्वतुल्य: किसी भी $a \in S$ के लिए,$(a, a) \in R$ यदि $1 + a^2 > 0$ हो। चूंकि सभी वास्तविक $a$ के लि

Vedclass · Accepted Answer

स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं है

Vedclass · Answer

(A) संबंध $R = \{ (a, b) : 1 + ab > 0 \}$ है।$1$. स्वतुल्य: किसी भी $a \in S$ के लिए,$(a, a) \in R$ यदि $1 + a^2 > 0$ हो। चूंकि सभी वास्तविक $a$ के लिए $a^2 \ge 0$ है,इसलिए $1 + a^2 \ge 1 > 0$। अतः,$R$ स्वतुल्य है।$2$. सममित: यदि $(a, b) \in R$ है,तो $1 + ab > 0$। चूंकि $ab = ba$,इसलिए $1 + ba > 0$,जिसका अर्थ है कि $(b, a) \in R$। अतः,$R$ सममित है।$3$. संक्रामक: $R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। मान लीजिए $a = -8, b = -2, c = 0.25$।$1 + ab = 1 + (-8)(-2) = 17 > 0$.$1 + bc = 1 + (-2)(0.25) = 1 - 0.5 = 0.5 > 0$.हालाँकि,$1 + ac = 1 + (-8)(0.25) = 1 - 2 = -1$,जो $> 0$ नहीं है।इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।निष्कर्ष: यह संबंध स्वतुल्य और सममित है,लेकिन संक्रामक नहीं है।

मान लीजिए कि $S$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। तो समुच्चय $S$ पर परिभाषित संबंध $R = \{ (a, b) : 1 + ab > 0 \}$ है

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