मान लीजिए f एक अवकलनीय फलन है जैसे कि (x - y) | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $(x - y) f(x + y) - (x + y) f(x - y) = 4xy(x^2 - y^2)$।$(x^2 - y^2) = (x+y)(x-y)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{f(x+y)}{x+y} - \frac{f(x-

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$\frac{f(4)}{16} 	ext{ वर्ग इकाई}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $(x - y) f(x + y) - (x + y) f(x - y) = 4xy(x^2 - y^2)$।$(x^2 - y^2) = (x+y)(x-y)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{f(x+y)}{x+y} - \frac{f(x-y)}{x-y} = 4xy$ प्राप्त होता है।मान लीजिए $u = x+y$ और $v = x-y$ है। तब $x = \frac{u+v}{2}$ और $y = \frac{u-v}{2}$ है।अतः $4xy = 4(\frac{u+v}{2})(\frac{u-v}{2}) = u^2 - v^2$ है।इस प्रकार,$\frac{f(u)}{u} - \frac{f(v)}{v} = u^2 - v^2 \Rightarrow \frac{f(u)}{u} - u^2 = \frac{f(v)}{v} - v^2 = c$ है।इसलिए,$f(u) = cu + u^3$ है। दिया गया है $f(1) = 2$,तो $c(1) + 1^3 = 2 \Rightarrow c = 1$ है।अतः $f(x) = x + x^3$ है।असमिका $\frac{|x^3|^{1/3}}{17} + \frac{|y^3|^{1/3}}{2} \le \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{|x|}{17} + \frac{|y|}{2} \le \frac{1}{4}$ बन जाती है।यह एक समचतुर्भुज (rhombus) को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(\pm \frac{17}{4}, 0)$ और $(0, \pm \frac{1}{2})$ हैं।क्षेत्रफल $= 4 	imes 	ext{प्रथम चतुर्थांश में त्रिभुज का क्षेत्रफल} = 4 	imes (\frac{1}{2} 	imes \frac{17}{4} 	imes \frac{1}{2}) = \frac{17}{4}$ है।चूंकि $f(4) = 4 + 4^3 = 68$ है,इसलिए $\frac{f(4)}{16} = \frac{68}{16} = \frac{17}{4}$ है।अतः,क्षेत्रफल $\frac{f(4)}{16}$ है।

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