ધારો કે e એ પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો આધાર છે. વાસ્ત | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1-x)^{\frac{1}{x}}-e^{-1}}{x^a}$.આપણે જાણીએ છીએ કે $(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x} \ln(1-x)}$

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1-x)^{\frac{1}{x}}-e^{-1}}{x^a}$.આપણે જાણીએ છીએ કે $(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x} \ln(1-x)}$.$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$ માટે ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:$\frac{1}{x} \ln(1-x) = -1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots$તેથી,$(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{-1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots} = e^{-1} \cdot e^{-\frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots}$.$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:$(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{-1} \left( 1 + (-\frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots) + \frac{(-\frac{x}{2} - \dots)^2}{2} + \dots \right) = e^{-1} \left( 1 - \frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} + \dots \right)$.આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:$L = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{-1} (1 - \frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} + \dots) - e^{-1}}{x^a} = e^{-1} \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-\frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} - \dots}{x^a}$.લક્ષ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,અંશમાં $x$ ની ઘાત છેદ $x^a$ સાથે મેળ ખાતી હોવી જોઈએ. તેથી,$a = 1$.

Similar Questions

$A \neq 0$ અને $x < 0$ માટે,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin x - e^{n x}}{1 + A e^{n x}}$ ની કિંમત શોધો.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x - 1}{2x^2 - 7x + 5} = $

$\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } {\left( {\cos \frac{x}{m}} \right)^m} = $

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \cos \left( {\pi \sqrt {{n^2} + n} } \right)$,જ્યાં $n \in I$,તે છે

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module