मान लीजिए e प्राकृतिक लघुगणक का आधार है। वास् | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $L = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1-x)^{\frac{1}{x}}-e^{-1}}{x^a}$.हम जानते हैं कि $(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x} \ln(1-x)}$

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$1$

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(B) मान लीजिए $L = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1-x)^{\frac{1}{x}}-e^{-1}}{x^a}$.हम जानते हैं कि $(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x} \ln(1-x)}$.$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:$\frac{1}{x} \ln(1-x) = -1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots$अतः,$(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{-1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots} = e^{-1} \cdot e^{-\frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots}$.$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:$(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{-1} \left( 1 + (-\frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots) + \frac{(-\frac{x}{2} - \dots)^2}{2} + \dots \right) = e^{-1} \left( 1 - \frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} + \dots \right)$.इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:$L = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{-1} (1 - \frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} + \dots) - e^{-1}}{x^a} = e^{-1} \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-\frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} - \dots}{x^a}$.सीमा के शून्येतर वास्तविक संख्या होने के लिए,अंश में $x$ की घात को हर $x^a$ के साथ मेल खाना चाहिए। अतः,$a = 1$.

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