मान लीजिए कि वक्र x=2(cos t+t sin t) और y=2(s | vedclass

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Question

(C) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण $x=2(\cos t+t \sin t)$ और $y=2(\sin t-t \cos t)$ हैं।सबसे पहले,हम $t$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करते हैं:$\frac{dx}{dt

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$2$

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(C) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण $x=2(\cos t+t \sin t)$ और $y=2(\sin t-t \cos t)$ हैं।सबसे पहले,हम $t$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करते हैं:$\frac{dx}{dt} = 2(-\sin t + \sin t + t \cos t) = 2t \cos t$$\frac{dy}{dt} = 2(\cos t - \cos t + t \sin t) = 2t \sin t$अब,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t \sin t}{2t \cos t} = 	an t$ है।अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{	an t} = -\frac{\cos t}{\sin t}$ है।बिंदु '$t$' पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है:$y - 2(\sin t - t \cos t) = -\frac{\cos t}{\sin t} [x - 2(\cos t + t \sin t)]$$\sin t$ से गुणा करने पर:$y \sin t - 2 \sin^2 t + 2t \sin t \cos t = -x \cos t + 2 \cos^2 t + 2t \sin t \cos t$$x \cos t + y \sin t = 2(\sin^2 t + \cos^2 t)$$x \cos t + y \sin t = 2$रेखा $Ax + By + C = 0$ की मूल बिंदु $(0,0)$ से दूरी $\frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।यहाँ,$A = \cos t$,$B = \sin t$,और $C = -2$ है।दूरी $= \frac{|-2|}{\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t}} = \frac{2}{1} = 2$ इकाई।

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