ધારો કે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એવા છે કે જેથી $|\vec{a}|=3$ અને $|\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}}{3}$ થાય. તો $\vec{a} \times \vec{b}$ એકમ સદિશ હોય,જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો હોય?

જો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ બે સદિશો એવા હોય કે જેથી $|\bar{a}|=5$, $|\bar{b}|=12$ અને $|\bar{a}-\bar{b}|=13$ થાય, તો $|2\bar{a}+\bar{b}|=$

જો $A, B, C, D$ બિંદુઓ અનુક્રમે $(2, 3, -1), (3, 5, -3), (1, 2, 3), (3, 5, 7)$ હોય,તો $AB$ અને $CD$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જ્યાં $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$,$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 2$ અને $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \sqrt{2} |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|$,જ્યાં $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} > 0$ છે. તો આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો:

સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બે પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ અને $\vec{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. બાજુ $\vec{AD}$ ને સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના સમતલમાં એક લઘુકોણ $\alpha$ દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે જેથી $\vec{AD}$ એ $\vec{AD'}$ બની જાય. જો $\vec{AD'}$, બાજુ $\vec{AB}$ સાથે કાટખૂણો બનાવે, તો ખૂણા $\alpha$ નો કોસાઇન છે...

ધારો કે $\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$,$\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}$ અને $\beta \hat{i} + (1 + \beta) \hat{j}$ એ ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો છે. જો $OA$ અને $OB$ વચ્ચેના લઘુકોણના દ્વિભાજકથી $C$ નું અંતર $\frac{3}{\sqrt{2}}$ હોય,તો $\beta$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો શોધો.