मान लीजिए कि सदिश $\vec{u} = (2+a+b) \hat{i}+(a+2 b+c) \hat{j}-(b+c) \hat{k}$,$\vec{v} = (1+b) \hat{i}+2 b \hat{j}-b \hat{k}$,और $\vec{w} = (2+b) \hat{i}+2 b \hat{j}+(1-b) \hat{k}$ जहाँ $a, b, c \in \mathbb{R}$ समतलीय हैं। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$\hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\hat{j}+\alpha \hat{k}$ और $\alpha \hat{i}+\hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन अधिकतम होने के लिए $\alpha$ का मान है

यदि $[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}] = \lambda [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $\vec{c}$ इकाई सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय एक सदिश है और $\vec{d}$, $\vec{a}$, $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के लंबवत इकाई सदिश है। यदि $[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] \vec{c} - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{d} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के बीच का कोण $30^{\circ}$ है, तो $|\vec{c}| =$

निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$A$. तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनमें से एक को अन्य दो के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सके।
$R$. कोई भी तीन समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं।
तो, निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

सह-किनारों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित चतुष्फलक का आयतन $3$ है। तो सह-किनारों $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन क्या होगा?