बिंदुओं $A$ और $B$ के निर्देशांक $(2, 2)$ और $(6, 6)$ हैं। बिंदु $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि $PA = PB$ हो और $\Delta PAB$ का क्षेत्रफल $4$ हो।

(A) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि $PA = PB$,इसलिए $PA^2 = PB^2$ होगा।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (x - 6)^2 + (y - 6)^2$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 12x + 36 + y^2 - 12y + 36$.
सरल करने पर: $8x + 8y = 64$,जिससे $x + y = 8$ प्राप्त होता है (समीकरण $1$)।
$\Delta PAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 4$ है।
बिंदुओं $P(x, y)$,$A(2, 2)$,और $B(6, 6)$ के मान रखने पर: $\frac{1}{2} |x(2 - 6) + 2(6 - y) + 6(y - 2)| = 4$.
$\frac{1}{2} |-4x + 12 - 2y + 6y - 12| = 4$.
$\frac{1}{2} |-4x + 4y| = 4$,जो सरल होकर $|-x + y| = 2$ हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $-x + y = 2$ या $-x + y = -2$ (समीकरण $2$)।
$x + y = 8$ और $-x + y = 2$ को हल करने पर $2y = 10 \Rightarrow y = 5$ और $x = 3$ प्राप्त होता है।
$x + y = 8$ और $-x + y = -2$ को हल करने पर $2y = 6 \Rightarrow y = 3$ और $x = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$P$ के निर्देशांक $(3, 5)$ या $(5, 3)$ हैं।