રવિ અને રશ્મિ દરેક પાસે $2$ લાલ કાર્ડ અને $2$ કાળા કાર્ડ છે (બધા ચાર લાલ અને બધા ચાર કાળા કાર્ડ સમાન છે). રવિ રશ્મિ પાસેથી યાદચ્છિક રીતે એક કાર્ડ પસંદ કરે છે અને પછી રશ્મિ રવિ પાસેથી યાદચ્છિક રીતે એક કાર્ડ પસંદ કરે છે. આ પ્રક્રિયા બીજી વાર પુનરાવર્તિત થાય છે. ધારો કે $p$ એ સંભાવના છે કે બંને પાસે સમાન રંગના તમામ $4$ કાર્ડ હોય. તો,$p$ નીચેનામાંથી કઈ શરતનું પાલન કરે છે?

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,જો $P(A) = \frac{1}{2}$ અને $P(A \cup B) = \frac{3}{5}$ હોય,તો $P(B) =$ . . . . . . .

એક સારી રીતે ચીપેલા પત્તાના પેકમાંથી જ્યાં સુધી એક્કો (ace) ન આવે ત્યાં સુધી એક પછી એક પત્તા ખેંચવામાં આવે છે. જો પ્રથમ એક્કો આવે તે પહેલાં બરાબર $5$ પત્તા ખેંચાય તેની સંભાવના $\frac{4}{49}\left(\frac{p_1 \cdot p_2 \cdot p_3}{p_4 \cdot p_5 \cdot p_6}\right)$ હોય, જ્યાં $p_i$ એ $i=1, 2, 3, 4, 5, 6$ માટે અવિભાજ્ય સંખ્યા છે, તો $(\max \{p_i\} - \min \{p_i\}) = $

સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,$P(A \cup B) =$ . . . . . . .

એક જહાજમાં ત્રણ એન્જિન $E_1, E_2$ અને $E_3$ ફીટ કરેલા છે. એન્જિન એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે અનુક્રમે $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ અને $\frac{1}{4}$ સંભાવના સાથે કાર્ય કરે છે. જહાજ કાર્યરત રહે તે માટે તેના ઓછામાં ઓછા બે એન્જિન કાર્યરત હોવા જોઈએ. ધારો કે $X$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે જહાજ કાર્યરત છે અને $X_1, X_2$ અને $X_3$ એ ઘટનાઓ દર્શાવે છે કે અનુક્રમે એન્જિન $E_1, E_2$ અને $E_3$ કાર્યરત છે. નીચેનામાંથી કયું (કયા) સાચું છે?
$(A) P(X_1^c \mid X) = \frac{3}{16}$
$(B) P(\text{બરાબર બે એન્જિન કાર્યરત છે} \mid X) = \frac{7}{8}$
$(C) P(X \mid X_2) = \frac{5}{16}$
$(D) P(X \mid X_1) = \frac{7}{16}$

ત્રણ ઘટનાઓ $A, B$ અને $C$ માટે,$P$ (ઘટના $A$ અથવા $B$ માંથી બરાબર એક ઘટના બને છે) = $P$ (ઘટના $B$ અથવા $C$ માંથી બરાબર એક ઘટના બને છે) = $P$ (ઘટના $C$ અથવા $A$ માંથી બરાબર એક ઘટના બને છે) = $p$ અને $P$ (ત્રણેય ઘટનાઓ એકસાથે બને છે) = $p^2$,જ્યાં $0 < p < 1/2$. તો ત્રણ ઘટનાઓ $A, B$ અને $C$ માંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવના કેટલી છે?