સાબિત કરો કે એક-એક વિધેય $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ વ્યાપ્ત વિધેય હોવું જ જોઈએ.
(N/A) ધારો કે $A = \{1, 2, 3\}$. વિધેય $f: A \rightarrow A$ એક-એક છે.
એક-એક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,પ્રદેશ $A$ ના ભિન્ન ઘટકો સહ-પ્રદેશ $A$ ના ભિન્ન ઘટકો સાથે સંકળાયેલા હોવા જોઈએ.
પ્રદેશ $A$ માં $3$ ઘટકો હોવાથી,તેમના પ્રતિબિંબો $f(1), f(2),$ અને $f(3)$ એ સહ-પ્રદેશ $A$ ના $3$ ભિન્ન ઘટકો હોવા જોઈએ.
સહ-પ્રદેશ $A$ માં પણ બરાબર $3$ ઘટકો હોવાથી,પ્રતિબિંબોનો ગણ ${f(1), f(2), f(3)}$ એ આખા સહ-પ્રદેશ $A$ જેટલો જ થાય.
તેથી,સહ-પ્રદેશના દરેક ઘટક માટે પ્રદેશમાં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,જે વ્યાપ્ત વિધેયની વ્યાખ્યાનું પાલન કરે છે.
આમ,$f$ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
એક-એક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,પ્રદેશ $A$ ના ભિન્ન ઘટકો સહ-પ્રદેશ $A$ ના ભિન્ન ઘટકો સાથે સંકળાયેલા હોવા જોઈએ.
પ્રદેશ $A$ માં $3$ ઘટકો હોવાથી,તેમના પ્રતિબિંબો $f(1), f(2),$ અને $f(3)$ એ સહ-પ્રદેશ $A$ ના $3$ ભિન્ન ઘટકો હોવા જોઈએ.
સહ-પ્રદેશ $A$ માં પણ બરાબર $3$ ઘટકો હોવાથી,પ્રતિબિંબોનો ગણ ${f(1), f(2), f(3)}$ એ આખા સહ-પ્રદેશ $A$ જેટલો જ થાય.
તેથી,સહ-પ્રદેશના દરેક ઘટક માટે પ્રદેશમાં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,જે વ્યાપ્ત વિધેયની વ્યાખ્યાનું પાલન કરે છે.
આમ,$f$ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
Explore More
Similar Questions
જો વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય $f:[a, \infty) \rightarrow [b, \infty)$ જે $f(x) = 2x^2 - 3x + 5$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે તે એક-એક અને વ્યાપ્ત (bijection) હોય,તો $3a + 2b =$
પૂર્ણાંકોના ગણ $Z$ પર,$f: Z \rightarrow Z$ ને $f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & n \text{ બેકી છે} \\ 0, & n \text{ એકી છે} \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો. તો $f$ એ:
જો વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય $f$ એ $f(x) = \frac{ax + \sqrt{a^2 - x^2}}{bx}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f$ એ
સાબિત કરો કે સિગ્નમ વિધેય $f: R \rightarrow R$,જે $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{જો } x > 0 \\ 0, & \text{જો } x = 0 \\ -1, & \text{જો } x < 0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે એક-એક (one-one) પણ નથી અને વ્યાપ્ત (onto) પણ નથી.
Medium
View Solutionજો વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = |x|(x - \sin x)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo