दर्शाइए कि एक एकैकी फलन $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ अनिवार्य रूप से आच्छादक (onto) होगा।
(N/A) माना $A = \{1, 2, 3\}$ है। फलन $f: A \rightarrow A$ एकैकी (one-one) दिया गया है।
एकैकी फलन की परिभाषा के अनुसार,प्रांत $A$ के भिन्न अवयवों को सह-प्रांत $A$ के भिन्न अवयवों पर मैप होना चाहिए।
चूंकि प्रांत $A$ में $3$ अवयव हैं,इसलिए उनके प्रतिबिंब $f(1), f(2),$ और $f(3)$ सह-प्रांत $A$ के $3$ भिन्न अवयव होने चाहिए।
चूंकि सह-प्रांत $A$ में भी ठीक $3$ अवयव हैं,इसलिए प्रतिबिंबों का समुच्चय ${f(1), f(2), f(3)}$ पूरे सह-प्रांत $A$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,सह-प्रांत के प्रत्येक अवयव का प्रांत में एक पूर्व-प्रतिबिंब (pre-image) मौजूद है,जो आच्छादक फलन की परिभाषा को संतुष्ट करता है।
इस प्रकार,$f$ आच्छादक (onto) है।
एकैकी फलन की परिभाषा के अनुसार,प्रांत $A$ के भिन्न अवयवों को सह-प्रांत $A$ के भिन्न अवयवों पर मैप होना चाहिए।
चूंकि प्रांत $A$ में $3$ अवयव हैं,इसलिए उनके प्रतिबिंब $f(1), f(2),$ और $f(3)$ सह-प्रांत $A$ के $3$ भिन्न अवयव होने चाहिए।
चूंकि सह-प्रांत $A$ में भी ठीक $3$ अवयव हैं,इसलिए प्रतिबिंबों का समुच्चय ${f(1), f(2), f(3)}$ पूरे सह-प्रांत $A$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,सह-प्रांत के प्रत्येक अवयव का प्रांत में एक पूर्व-प्रतिबिंब (pre-image) मौजूद है,जो आच्छादक फलन की परिभाषा को संतुष्ट करता है।
इस प्रकार,$f$ आच्छादक (onto) है।
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यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=2x+\sin x, x \in R$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $f$ है
मान लीजिए कि $A = \{x_1, x_2, \dots, x_7\}$ और $B = \{y_1, y_2, y_3\}$ दो समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः सात और तीन भिन्न अवयव हैं। तो $A$ से $B$ तक के उन आच्छादक (onto) फलनों $f : A \to B$ की कुल संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें $A$ के ठीक तीन अवयवों के लिए $f(x) = y_2$ हो।
DifficultJEE MAIN 2015
View Solutionमान लीजिए $A = \{(x, y) : 2x + 3y = 23, x, y \in N\}$ और $B = \{x : (x, y) \in A\}$ है। तो $A$ से $B$ तक एकैकी (one-one) फलनों की संख्या ................ है।
यदि $f(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ है,तो फलन $(f - g)$ है:
निम्नलिखित का मिलान करें:
$(A)$ $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f(x)=px+q$ $(p \neq 0)$,$\forall x \in R$ $I.$ $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक $(B)$ $f: R \rightarrow R^{+} \cup\{0\}$ इस प्रकार है कि $f(x)=x^2$,$\forall x \in R$ $II.$ $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है $(C)$ $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार है कि $f(n)=n^2+2n+3$,$\forall n \in N$ $III.$ $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है $(D)$ $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f(x)=2(\cos ^2 5x+\sin ^2 5x)$ $\forall x \in R$ $IV.$ $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है $V.$ $f$ एक अचर फलन है और एकैकी-आच्छादक भी है
| $(A)$ $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f(x)=px+q$ $(p \neq 0)$,$\forall x \in R$ | $I.$ $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक |
| $(B)$ $f: R \rightarrow R^{+} \cup\{0\}$ इस प्रकार है कि $f(x)=x^2$,$\forall x \in R$ | $II.$ $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है |
| $(C)$ $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार है कि $f(n)=n^2+2n+3$,$\forall n \in N$ | $III.$ $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है |
| $(D)$ $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f(x)=2(\cos ^2 5x+\sin ^2 5x)$ $\forall x \in R$ | $IV.$ $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है |
| $V.$ $f$ एक अचर फलन है और एकैकी-आच्छादक भी है |
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