सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और दिए गए आयतन वाले लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई उसके आधार की त्रिज्या की $\sqrt{2}$ गुनी होती है।

(N/A) माना शंकु की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
शंकु का आयतन $(V) = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है,जिसका अर्थ है $h = \frac{3V}{\pi r^{2}}$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(S) = \pi r l = \pi r \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ है।
$h$ का मान रखने पर,$S = \pi r \sqrt{r^{2} + \frac{9V^{2}}{\pi^{2} r^{4}}} = \frac{1}{r} \sqrt{\pi^{2} r^{6} + 9V^{2}}$.
$S$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $S^{2} = \frac{\pi^{2} r^{6} + 9V^{2}}{r^{2}} = \pi^{2} r^{4} + 9V^{2} r^{-2}$ को न्यूनतम करेंगे।
माना $f(r) = S^{2}$. तब $f'(r) = 4 \pi^{2} r^{3} - 18V^{2} r^{-3}$.
$f'(r) = 0$ रखने पर,$4 \pi^{2} r^{3} = \frac{18V^{2}}{r^{3}}$,अतः $r^{6} = \frac{18V^{2}}{4 \pi^{2}} = \frac{9V^{2}}{2 \pi^{2}}$.
$V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ को $r^{6} = \frac{9V^{2}}{2 \pi^{2}}$ में रखने पर,$r^{6} = \frac{9}{2 \pi^{2}} \cdot (\frac{1}{9} \pi^{2} r^{4} h^{2}) = \frac{1}{2} r^{4} h^{2}$.
इस प्रकार,$r^{2} = \frac{1}{2} h^{2}$,जिसका अर्थ है $h^{2} = 2r^{2}$,या $h = \sqrt{2} r$.
चूँकि $f''(r) = 12 \pi^{2} r^{2} + 54V^{2} r^{-4} > 0$ है,इसलिए $h = \sqrt{2} r$ पर पृष्ठीय क्षेत्रफल न्यूनतम होता है।