મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલો: $2x + 3y + 3z = 5$,$x - 2y + z = -4$,$3x - y - 2z = 3$.

સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ અને $a_3x + b_3y + c_3z + d_3 = 0$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $\Delta (a,b,c)$ એ નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ દર્શાવે છે. જો $\Delta (a,b,c) \neq 0$ હોય,તો ઉપરના સમીકરણોના અનન્ય ઉકેલમાં $x$ ની કિંમત શું છે?

જો $x^a y^b=e^m, x^c y^d=e^n, \Delta_1=\left|\begin{array}{ll}m & b \\ n & d\end{array}\right|, \Delta_2=\left|\begin{array}{ll}a & m \\ c & n\end{array}\right|, \Delta_3=\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|$,હોય,તો $x$ અને $y$ ની કિંમતો અનુક્રમે શું થાય? ($e$ એ પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો આધાર છે).

જો $A=\begin{bmatrix} x & y & y \\ y & x & y \\ y & y & x \end{bmatrix}$ એક એવો શ્રેણિક હોય કે જેથી $5 A^{-1}=\begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$ થાય, તો $A^2-4 A=$

ધારો કે $n$ એ એક સમતોલ પાસાને ફેંકતા મળતી સંખ્યા છે. જો સમીકરણોની સિસ્ટમ
$x-ny+z=6$
$x+(n-2)y+(n+1)z=8$
$(n-1)y+z=1$
નો ઉકેલ અનન્ય હોય તેની સંભાવના $\frac{k}{6}$ હોય, તો $k$ અને $n$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x + 2ay + az = 0$,$x + 3by + bz = 0$,અને $x + 4cy + cz = 0$ નો શૂન્યેતર ઉકેલ હોય,તો $a, b, c$: