समीकरण $\left|\begin{array}{ccc}x^2+2x & x+2 & 1 \\ 2x+1 & x-1 & 1 \\ x+2 & -1 & 1\end{array}\right|=0$ के धनात्मक मूलों का योग ज्ञात कीजिए।

माना $A = 0$, $B = 9$, $C = -9$, और $D = 1$ है। $\alpha$ का निम्नलिखित में से कौन सा मान समीकरण $\left|\begin{array}{lll}(1+\alpha)^2 & (1+2 \alpha)^2 & (1+3 \alpha)^2 \\ (2+\alpha)^2 & (2+2 \alpha)^2 & (2+3 \alpha)^2 \\ (3+\alpha)^2 & (3+2 \alpha)^2 & (3+3 \alpha)^2\end{array}\right|=-648 \alpha$ को संतुष्ट करता है?

$\lambda$ के कितने मानों के लिए बिंदु $(\lambda + 1, 1)$,$(2\lambda + 1, 3)$ और $(2\lambda + 2, 2\lambda)$ संरेख (collinear) हैं?

मान लीजिए $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ के वास्तविक मूल हैं,जहाँ $a, b, c \in R$ और $a, b \neq 0$ है। यदि $u, v, w$ में समीकरणों की प्रणाली $\alpha u + \beta v + \gamma w = 0$,$\beta u + \gamma v + \alpha w = 0$,और $\gamma u + \alpha v + \beta w = 0$ का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है,तो $\frac{a^{2}}{b}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\begin{aligned} & \text{यदि }\left|\begin{array}{ccc}n^2 & (n+1)^2 & (n+2)^2 \\ (n+1)^2 & (n+2)^2 & (n+3)^2 \\ (n+2)^2 & (n+3)^2 & (n+4)^2\end{array}\right|=\Delta \text{और } \\ & \left|\begin{array}{ccc}1 & -4 & 7 \\ -2 & 3 & -5 \\ 3 & x & -3\end{array}\right|=2 \Delta+1, \text{तो } x=\end{aligned}$

यदि $\alpha$ समीकरण $x^3+6x^2+5x-42=0$ का एक वास्तविक मूल है,तो आव्यूह $\left[\begin{array}{ccc}\alpha-1 & \alpha+1 & \alpha+2 \\ \alpha-2 & \alpha+3 & \alpha-3 \\ \alpha+4 & \alpha-4 & \alpha+5\end{array}\right]$ का सारणिक ज्ञात कीजिए।