શ્રેણી $51 + 50 + 49 + \ldots + 21$ નો સરવાળો શોધો.

જો $\log _{10} 2, \log _{10} (2^x - 1), \log _{10} (2^x + 3)$ એ $A.P.$ માં હોય,તો :-

જો $a_1, a_2, a_3, . . . , a_n, . . .$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં હોય અને $a_4 - a_7 + a_{10} = m$ હોય,તો આ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $13$ પદોનો સરવાળો .............. $m$ થાય.

ધારો કે $S_n = 1 + q + q^2 + ..... + q^n$ અને $T_n = 1 + \left( \frac{q + 1}{2} \right) + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^2 + ...... + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^n$ જ્યાં $q$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને $q \neq 1$. જો $^{101}C_1 + ^{101}C_2 \cdot S_1 + ...... + ^{101}C_{101} \cdot S_{100} = \alpha \cdot T_{100}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

એક ગુણોત્તર શ્રેણીમાં,જો પ્રથમ $5$ પદોના સરવાળા અને તેમના વ્યસ્તોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $49$ હોય,અને પ્રથમ તથા ત્રીજા પદનો સરવાળો $35$ હોય,તો આ ગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ શોધો.

એક $GP$ (ગુણોત્તર શ્રેણી) ના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો તેના પ્રથમ $10$ પદોના સરવાળા કરતાં $1025$ ગણો છે. $GP$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો.