मान लीजिए ABCDEF एक षट्भुज है जहाँ AB=BC=CD=1 | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $r$ वृत्त की त्रिज्या है। वृत्त का केंद्र $1$ और $2$ लंबाई की जीवाओं द्वारा केंद्र पर कोण बनाता है।मान लीजिए $2	heta$ केंद्र पर $1$ लंब

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$\sqrt{\frac{7}{3}}$

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(B) मान लीजिए $r$ वृत्त की त्रिज्या है। वृत्त का केंद्र $1$ और $2$ लंबाई की जीवाओं द्वारा केंद्र पर कोण बनाता है।मान लीजिए $2	heta$ केंद्र पर $1$ लंबाई की जीवा द्वारा बनाया गया कोण है,और $2\alpha$ केंद्र पर $2$ लंबाई की जीवा द्वारा बनाया गया कोण है।अतः,$\sin 	heta = \frac{1/2}{r} = \frac{1}{2r}$ और $\sin \alpha = \frac{1}{r}$ है।केंद्र के चारों ओर कोणों का योग $3(2	heta) + 3(2\alpha) = 360^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है $	heta + \alpha = 60^{\circ}$।दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर,$\cos(	heta + \alpha) = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$।सूत्र $\cos(	heta + \alpha) = \cos 	heta \cos \alpha - \sin 	heta \sin \alpha = \frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए।चूंकि $\sin 	heta = \frac{1}{2r}$,$\cos 	heta = \sqrt{1 - \frac{1}{4r^2}} = \frac{\sqrt{4r^2-1}}{2r}$ है।चूंकि $\sin \alpha = \frac{1}{r}$,$\cos \alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{r^2}} = \frac{\sqrt{r^2-1}}{r}$ है।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{\sqrt{4r^2-1}}{2r} \cdot \frac{\sqrt{r^2-1}}{r} - \frac{1}{2r} \cdot \frac{1}{r} = \frac{1}{2}$।$\frac{\sqrt{(4r^2-1)(r^2-1)}}{2r^2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2r^2} = \frac{r^2+1}{2r^2}$।$\sqrt{(4r^2-1)(r^2-1)} = r^2+1$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(4r^2-1)(r^2-1) = (r^2+1)^2$।$4r^4 - 5r^2 + 1 = r^4 + 2r^2 + 1$।$3r^4 = 7r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{7}{3}$।अतः,$r = \sqrt{\frac{7}{3}}$।

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