मान लीजिए f: R rightarrow R इस प्रकार दिया गय | vedclass

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Question

(D) $x=1$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने के लिए, हम परिभाषा का उपयोग करके अवकलज की गणना करते हैं: $f^{\prime}(1) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(1+h) -

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$f^{\prime}(1)$ का अस्तित्व है और यह $10$ है

Vedclass · Answer

(D) $x=1$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने के लिए, हम परिभाषा का उपयोग करके अवकलज की गणना करते हैं: $f^{\prime}(1) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$.दिया गया है $f(1) = 1$ और $h 
eq 0$ के लिए, $f(1+h) = e^{((1+h)^{10}-1)} + h^2 \sin(\frac{1}{h})$.इन मानों को सीमा की परिभाषा में रखने पर:$f^{\prime}(1) = \lim_{h 	o 0} \frac{e^{((1+h)^{10}-1)} + h^2 \sin(\frac{1}{h}) - 1}{h}$.विस्तार $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u = (1+h)^{10}-1 = 1 + 10h + \dots - 1 = 10h + O(h^2)$:$f^{\prime}(1) = \lim_{h 	o 0} \frac{1 + (10h + O(h^2)) + h^2 \sin(\frac{1}{h}) - 1}{h}$.$f^{\prime}(1) = \lim_{h 	o 0} \frac{10h + O(h^2) + h^2 \sin(\frac{1}{h})}{h}$.$f^{\prime}(1) = \lim_{h 	o 0} (10 + O(h) + h \sin(\frac{1}{h}))$.स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार $\lim_{h 	o 0} h \sin(\frac{1}{h}) = 0$ है, इसलिए हमें $f^{\prime}(1) = 10 + 0 + 0 = 10$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{यदि } x=1 \\ e^{(x^{10}-1)} + (x-1)^2 \sin \frac{1}{x-1}, & \text{यदि } x \neq 1 \end{cases}$। तो:

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|}, & |x| \geq 1 \\ ax^2 + b, & -1 < x < 1 \end{cases}$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए अवकलनीय है,तो $a$ और $b$ का एक मान है-

$f(x)= \begin{cases} 2a-x & \text{in } -a < x < a \\ 3x-2a & \text{in } a \leq x \end{cases}$
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