રેખા $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ અને સમતલ $\bar{r} \cdot(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ વચ્ચેનો લઘુકોણ શોધો.

જો રેખાઓ $\frac{x+1}{3} = \frac{y+a}{5} = \frac{z+b+1}{7}$ અને $\frac{x-2}{1} = \frac{y-b}{4} = \frac{z-2a}{7}$ નું છેદબિંદુ $xy$-સમતલ પર આવેલું હોય, તો $a+b$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે એક સમતલ $P$ બિંદુ $A(3, 7, -7)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $L: \frac{x - 2}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ ને સમાવે છે. જો ઉગમબિંદુથી સમતલ $P$ નું અંતર $d$ હોય, તો $d^2$ ની કિંમત છે

જો $\lambda_1 < \lambda_2$ એ $\lambda$ ની બે એવી કિંમતો હોય કે જેથી સમતલો $P_1: \vec{r} \cdot (3 \hat{i} - 5 \hat{j} + \hat{k}) = 7$ અને $P_2: \vec{r} \cdot (\lambda \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) = 9$ વચ્ચેનો ખૂણો $\sin^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5}\right)$ હોય,તો બિંદુ $(38 \lambda_1, 10 \lambda_2, 2)$ થી સમતલ $P_1$ પરના લંબની લંબાઈનો વર્ગ $...........$ છે.

બિંદુ $2i + j - k$ નું સમતલ $r \cdot (i - 2j + 4k) = 9$ થી અંતર કેટલું છે?

ધારો કે $P$ એ $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 5$ અને $\overrightarrow{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 3$ સમતલોના છેદબિંદુમાંથી અને બિંદુ $(2, 1, -2)$ માંથી પસાર થતું સમતલ છે. ધારો કે બિંદુઓ $X$ અને $Y$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે. તો બિંદુઓ: