परवलयों y^2 = 4ax और x^2 = 8ay के बीच का क्षे | vedclass

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Question

(C) परवलयों $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 8ay$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।प्रथम समीकरण से,$y = \sqrt{

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$\frac{32}{3}a^2$

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(C) परवलयों $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 8ay$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।प्रथम समीकरण से,$y = \sqrt{4ax} = 2\sqrt{a}\sqrt{x}$ प्राप्त होता है।इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर: $x^2 = 8a(2\sqrt{a}\sqrt{x}) = 16a^{3/2}x^{1/2}$।$x^2 / x^{1/2} = 16a^{3/2} \implies x^{3/2} = 16a^{3/2}$।दोनों पक्षों की घात $2/3$ लेने पर,$x = (16a^{3/2})^{2/3} = 16^{2/3} a = (2^4)^{2/3} a = 2^{8/3}a$ प्राप्त होता है।अब,क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = 2^{8/3}a$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:$A = \int_0^{2^{8/3}a} (\sqrt{4ax} - \frac{x^2}{8a}) dx$$A = [2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{24a}]_0^{2^{8/3}a}$$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} (2^{8/3}a)^{3/2} - \frac{(2^{8/3}a)^3}{24a}$$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} (2^4 a^{3/2}) - \frac{2^8 a^3}{24a}$$A = \frac{4 \cdot 16}{3} a^2 - \frac{256}{24} a^2 = \frac{64}{3} a^2 - \frac{32}{3} a^2 = \frac{32}{3} a^2$।

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $2(a^2-b^2)=c^2$ और $\lambda=\frac{\sin(X-Y)}{\sin Z}$ है,तो $n$ के संभावित मान जिनके लिए $\cos(n\pi\lambda)=0$ है,वे हैं	$(P)$ $1$
$(B)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $1+\cos 2X-2\cos 2Y=2\sin X\sin Y$ है,तो $\frac{a}{b}$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ $\mathbb{R}^2$ में,मान लीजिए $\sqrt{3}\hat{i}+\hat{j}$,$\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}$ और $\beta\hat{i}+(1-\beta)\hat{j}$ क्रमशः मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $X, Y$ और $Z$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ के बीच के न्यून कोण के समद्विभाजक से $Z$ की दूरी $\frac{3}{\sqrt{2}}$ है,तो $\|\beta\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए कि $F(\alpha)$ उस क्षेत्र का क्षेत्रफल दर्शाता है जो $x=0, x=2, y^2=4x$ और $y=\|\alpha x-1\|+\|\alpha x-2\|+\alpha x$ द्वारा घिरा है,जहाँ $\alpha \in \{0, 1\}$ है। तो जब $\alpha=0$ और $\alpha=1$ है,तब $F(\alpha)+\frac{8}{3}\sqrt{2}$ का मान (मानों) है	$(S)$ $5$
	$(T)$ $6$

परवलयों $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 8ay$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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