વક્રો y=ax^2 અને x=ay^2 (a 0) વચ્ચે ઘેરાયેલ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) બે વક્રો $y=ax^2$ અને $x=ay^2$ એ $O(0,0)$ અને $P\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{a}\right)$ બિંદુએ છેદે છે.આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(A) બે વક્રો $y=ax^2$ અને $x=ay^2$ એ $O(0,0)$ અને $P\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{a}\right)$ બિંદુએ છેદે છે.આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે ઉપરના વક્ર $y=\sqrt{\frac{x}{a}}$ અને નીચેના વક્ર $y=ax^2$ વચ્ચેના તફાવતનું $x=0$ થી $x=\frac{1}{a}$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ.આપેલ ક્ષેત્રફળ $= \int_0^{\frac{1}{a}} \left(\sqrt{\frac{x}{a}} - ax^2\right) dx = 1$$\Rightarrow \left[\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{ax^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{a}} = 1$$\Rightarrow \left[\frac{2}{3\sqrt{a}} x^{3/2} - \frac{ax^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{a}} = 1$સીમાઓ મૂકતા:$\Rightarrow \left(\frac{2}{3\sqrt{a}} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^{3/2} - \frac{a}{3} \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^3\right) = 1$$\Rightarrow \frac{2}{3\sqrt{a} \cdot a\sqrt{a}} - \frac{a}{3a^3} = 1$$\Rightarrow \frac{2}{3a^2} - \frac{1}{3a^2} = 1$$\Rightarrow \frac{1}{3a^2} = 1$$\Rightarrow a^2 = \frac{1}{3}$કારણ કે $a > 0$,તેથી $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

વક્રો $y=ax^2$ અને $x=ay^2$ $(a > 0)$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $1$ ચોરસ એકમ છે,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

પરવલય $y^{2}=x$ અને રેખા $y=mx$ વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{48}$ છે. તો, $m$ ની કિંમત શોધો.

વક્ર $y = x{e^{{x^2}}}$,$x$-અક્ષ અને યામ $x = 0$ તથા $x = a$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

$x^2=8y$, $x=4$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

$a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળામાંથી કાપવામાં આવેલા $h$ ઊંચાઈના ગોલીય કેપ (spherical cap) નું ઘનફળ કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module