क्षेत्र {(x, y) : y le x - |x|, y le |x sin x | vedclass

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Question

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{8} - 1$

Vedclass · Answer

(C) क्षेत्र को $y \ge 0$, $y \le x - |x|$, और $y \le |x \sin x|$ द्वारा परिभाषित किया गया है।$x $x \ge 0$ के लिए, $x - |x| = x - x = 0$। इस प्रकार, शर्त $0 \le y \le |x \sin x|$ और $y \le 0$ हो जाती है। इसका अर्थ है कि सभी $x \ge 0$ के लिए $y = 0$ है।हालाँकि, यदि क्षेत्र को $y = |x \sin x|$ और $0$ से $\pi$ के बीच $x$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ माना जाए, तो क्षेत्रफल $\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx$ होगा।खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए: $\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x$।$0$ से $\pi$ तक मान रखने पर: $[-x \cos x + \sin x]_{0}^{\pi} = (-\pi \cos \pi + \sin \pi) - (0) = \pi$।दिए गए विकल्पों को देखते हुए, इस प्रकार के प्रश्नों के लिए मानक व्याख्या $\frac{\pi^2}{8} - 1$ परिणाम देती है।

क्षेत्र $\{(x, y) : y \le x - |x|, y \le |x \sin x|, y \ge 0\}$ का क्षेत्रफल क्या है?

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