परवलय y^{2}=x और रेखा y=mx के बीच घिरे क्षेत् | vedclass

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Question

(A, D) परवलय का समीकरण $y^{2}=x$ है और रेखा का समीकरण $y=mx$ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, रेखा के समीकरण में $x=y^{2}$ प्रतिस्थापित करें:$y

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$2$

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(A, D) परवलय का समीकरण $y^{2}=x$ है और रेखा का समीकरण $y=mx$ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, रेखा के समीकरण में $x=y^{2}$ प्रतिस्थापित करें:$y=m(y^{2}) \Rightarrow my^{2}-y=0 \Rightarrow y(my-1)=0$.अतः, $y=0$ या $y=\frac{1}{m}$.$y=0$ के लिए, $x=0$. $y=\frac{1}{m}$ के लिए, $x=\frac{1}{m^{2}}$.इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $P\left(\frac{1}{m^{2}}, \frac{1}{m}ight)$ हैं।आवश्यक क्षेत्रफल समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:$	ext{Area} = \int_{0}^{1/m} \left(\frac{y}{m} - y^{2}ight) dy = \left[\frac{y^{2}}{2m} - \frac{y^{3}}{3}ight]_{0}^{1/m} = \left|\frac{1}{2m^{3}} - \frac{1}{3m^{3}}ight| = \left|\frac{1}{6m^{3}}ight|$.चूंकि क्षेत्रफल $\frac{1}{48}$ दिया गया है:$\left|\frac{1}{6m^{3}}ight| = \frac{1}{48} \Rightarrow |m^{3}| = 8$.इसका अर्थ है कि $m^{3} = 8$ या $m^{3} = -8$.अतः, $m = 2$ या $m = -2$.

परवलय $y^{2}=x$ और रेखा $y=mx$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{48}$ है। तो, $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

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