बिंदुओं $(0, 0)$ और $(1, 0)$ से गुजरने वाले और वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ को स्पर्श करने वाले वृत्त (वृत्तों) का केंद्र (केंद्रों) है/हैं:

एक वृत्त परवलय $y^2=4x$ को $(1,2)$ पर स्पर्श करता है और इसकी नियता (directrix) को भी स्पर्श करता है। वृत्त और नियता के स्पर्श बिंदु का $y$-निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

$B$ और $C$ क्रमशः $(3, 0)$ और $(-3, 0)$ निर्देशांक वाले स्थिर बिंदु हैं। यदि शीर्ष कोण $\angle BAC = 90^o$ है,तो $\Delta ABC$ के केंद्रक का बिंदुपथ समीकरण क्या होगा?

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{4} = 1$ पर बिंदु $(3 \sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब $y$-अक्ष को क्रमशः बिंदुओं $A$ और $B$ पर मिलते हैं। मान लीजिए कि $AB$ को व्यास मानकर एक वृत्त $C$ खींचा जाता है और रेखा $x = 2 \sqrt{5}$ वृत्त $C$ को बिंदुओं $P$ और $Q$ पर काटती है। यदि वृत्त पर बिंदुओं $P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाएं बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो $\alpha^2 - \beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

दिया गया है: एक वृत्त $2x^2 + 2y^2 = 5$ और एक परवलय $y^2 = 4\sqrt{5}x$ है।
कथन-$1$: इन वक्रों के लिए एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $y = x + \sqrt{5}$ है।
कथन-$2$: यदि रेखा $y = mx + \frac{\sqrt{5}}{m} (m \neq 0)$ उनकी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है,तो $m$,$m^4 - 3m^2 + 2 = 0$ को संतुष्ट करता है।

यदि वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर किसी बिंदु से,वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c \sin^2 \alpha + (g^2+f^2) \cos^2 \alpha = 0$ पर स्पर्श रेखाएं खींची जाती हैं,जहाँ $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$,तो उन स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण क्या है?