वृत्त ${x^2} + {y^2} = 4$,बिंदुओं $A(1, 0)$ और $B(3, 4)$ को जोड़ने वाली रेखा को दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर काटता है। यदि $\frac{BP}{PA} = \alpha$ और $\frac{BQ}{QA} = \beta$ है,तो $\alpha$ और $\beta$ किस द्विघात समीकरण के मूल हैं?

यदि $\theta$ वृत्त $x^2 + y^2 = 5$ और परवलय $y^2 = 4x$ के वास्तविक प्रतिच्छेदन बिंदु पर न्यून कोण है,तो $\tan \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y = m_{1}x + c_{1}$ और $y = m_{2}x + c_{2}$ जहाँ $m_{1} \neq m_{2}$ वृत्त $x^{2} + y^{2} = 2$ और परवलय $y^{2} = x$ की दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं,तो $8|m_{1}m_{2}|$ का मान क्या होगा?

माना वृत्त $C$,रेखा $2x-3y+5=0$ में $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ का प्रतिबिंब है। माना $A$,$C$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $OA$,$x$-अक्ष के समांतर है और $A$,$C$ के केंद्र $O$ के दाईं ओर स्थित है। यदि $B(\alpha, \beta)$,जहाँ $\beta < 4$,$C$ पर इस प्रकार स्थित है कि चाप $AB$ की लंबाई $C$ की परिधि का $(1/6)$ भाग है,तो $\beta - \sqrt{3}\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखा $x+y=k$ वक्र $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ को दो बिंदुओं $A$ और $B$ पर मिलती है। यदि $O$ मूल बिंदु है और $\angle AOB=90^{\circ}$ है,तो $k$ $(k>1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखा $2x - y + 1 = 0$ वृत्त को बिंदु $(2, 5)$ पर स्पर्श करती है और वृत्त का केंद्र $x - 2y = 4$ पर स्थित है। वृत्त की त्रिज्या है