रेखा x+y=k वक्र x^2+y^2-2x-4y+2=0 को दो बिंदु | vedclass

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Question

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ है ...$(i)$.रेखा $x+y=k$ का उपयोग करके समीकरण $(i)$ को समघात बनाने पर:$x^2+y^2-2x\left(\frac{x+y}{k}\right)-4y

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$2$

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(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ है ...$(i)$.रेखा $x+y=k$ का उपयोग करके समीकरण $(i)$ को समघात बनाने पर:$x^2+y^2-2x\left(\frac{x+y}{k}\right)-4y\left(\frac{x+y}{k}\right)+2\left(\frac{x+y}{k}\right)^2=0$.$k^2$ से गुणा करने पर:$k^2x^2+k^2y^2-2kx(x+y)-4ky(x+y)+2(x+y)^2=0$.पदों को व्यवस्थित करने पर:$(k^2-2k+2)x^2 + (4-6k)xy + (k^2-4k+2)y^2 = 0$.चूँकि $\angle AOB=90^{\circ}$ है,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:$(k^2-2k+2) + (k^2-4k+2) = 0$.$2k^2-6k+4 = 0$.$k^2-3k+2 = 0$.$(k-2)(k-1) = 0$.अतः,$k=2$ या $k=1$.चूँकि $k>1$ दिया गया है,इसलिए $k=2$ है।

रेखा $x+y=k$ वक्र $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ को दो बिंदुओं $A$ और $B$ पर मिलती है। यदि $O$ मूल बिंदु है और $\angle AOB=90^{\circ}$ है,तो $k$ $(k>1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$y^2 = 16x$ की एक नाभीय जीवा $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ की स्पर्श रेखा है,तो इस जीवा की ढाल (slope) के संभावित मान हैं:

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यदि बिंदु $P(5,3)$ से गुजरने वाली रेखा वृत्त $x^2+y^2-2x-4y+\alpha=0$ को $A(4,2)$ और $B(x_1, y_1)$ पर मिलती है,तो $PA \cdot PB$ का मान ज्ञात कीजिए।

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