समीकरणों x^{12} - 1 = 0 और x^4 + x^2 + 1 = 0 | vedclass

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Question

(C) दिए गए समीकरण $x^{12} - 1 = 0$ और $x^4 + x^2 + 1 = 0$ हैं। प्रथम समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{12} - 1 = (x^6 - 1)(x^6 + 1) = (x^2 - 1)(x^4 + x^2

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$\pm \omega, \pm \omega^2$

Vedclass · Answer

(C) दिए गए समीकरण $x^{12} - 1 = 0$ और $x^4 + x^2 + 1 = 0$ हैं। प्रथम समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{12} - 1 = (x^6 - 1)(x^6 + 1) = (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)(x^6 + 1)$. चूंकि $x^4 + x^2 + 1$,$x^{12} - 1$ का एक गुणनखंड है,इसलिए $x^4 + x^2 + 1 = 0$ के सभी मूल उभयनिष्ठ मूल होंगे। $x^4 + x^2 + 1 = 0$ को हल करने पर: माना $y = x^2$,तब $y^2 + y + 1 = 0$. इसके मूल $y = \omega$ और $y = \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$. अतः,$x^2 = \omega$ या $x^2 = \omega^2$. वर्गमूल लेने पर,$x = \pm \sqrt{\omega} = \pm \omega^2$ और $x = \pm \sqrt{\omega^2} = \pm \omega$. अतः,उभयनिष्ठ मूल $\pm \omega, \pm \omega^2$ हैं।

समीकरणों $x^{12} - 1 = 0$ और $x^4 + x^2 + 1 = 0$ के उभयनिष्ठ मूल हैं:

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