वक्र $y(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 5$,$x$-अक्ष को बिंदु $P(-2, 0)$ पर स्पर्श करता है और $y$-अक्ष को बिंदु $Q$ पर काटता है,जहाँ अवकलज $y'(0) = 3$ है। $y(x)$ का स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

माना फलन $f: (0, \pi) \rightarrow R$,$f(\theta) = (\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^4$ द्वारा परिभाषित है। मान लीजिए कि फलन $f$ का स्थानीय न्यूनतम मान $\theta$ पर तब होता है जब $\theta \in \{\lambda_1 \pi, \dots, \lambda_r \pi\}$,जहाँ $0 < \lambda_1 < \dots < \lambda_r < 1$ है। तब $\lambda_1 + \dots + \lambda_r$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \int_0^{x^2} \frac{t^2-8t+15}{e^t} dt$,$x \in R$ है। तो $f$ के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम बिंदुओं की संख्या क्रमशः क्या है?

यदि $60 \ m$ परिमाप वाले एक वृत्तीय त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल अधिकतम करना है,तो इसकी त्रिज्या ......... $m$ होनी चाहिए।

मान लीजिए $f(x)=3^{(x^{2}-2)^{3}+4}, x \in R$. तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$P: x=0$ फलन $f$ के स्थानीय निम्निष्ठ (local minima) का बिंदु है
$Q: x=\sqrt{2}$ फलन $f$ का नति परिवर्तन बिंदु (point of inflection) है
$R: x>\sqrt{2}$ के लिए $f^{\prime}$ वर्धमान है

फलन $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ जहाँ $a^2 \leq 3b$ है, के पास: