ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો એકબીજાને બિંદુ $O$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$ થાય. સાબિત કરો કે $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.

(N/A) આપેલ પ્રશ્ન માટે નીચેની આકૃતિ ધ્યાનમાં લો.
એક રેખા $OE \parallel AB$ દોરો જેથી $E$ એ $AD$ પર આવેલું હોય.
$\triangle ABD$ માં,$OE \parallel AB$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{AE}{ED} = \frac{BO}{OD}$ $...(1)$
જોકે,આપેલ છે કે:
$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$
પદોની ગોઠવણી કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO}$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{CO}$
$\triangle ADC$ માં,$\frac{AE}{ED} = \frac{AO}{OC}$ હોવાથી,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ:
$EO \parallel DC$
આપણે $OE \parallel AB$ રચ્યું હતું અને આપણે સાબિત કર્યું કે $OE \parallel DC$,તેથી:
$AB \parallel DC$
તેથી,$ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે કારણ કે સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર છે.