समतल में मूल बिंदु पर Y-अक्ष को स्पर्श करने व | vedclass

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Question

(A) मूल बिंदु $(0,0)$ पर $Y$-अक्ष को स्पर्श करने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ वृत्त की त्रिज्या

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2-x^2}{2xy}$

Vedclass · Answer

(A) मूल बिंदु $(0,0)$ पर $Y$-अक्ष को स्पर्श करने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ वृत्त की त्रिज्या है और $(a,0)$ केंद्र है।इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = 2ax$ $(i)$ हो जाता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2a$ प्राप्त होता है।अतः,$a = x + y \frac{dy}{dx}$ $(ii)$।समीकरण $(ii)$ से $a$ का मान समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$x^2 + y^2 = 2x(x + y \frac{dy}{dx})$$x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xy \frac{dy}{dx}$$2xy \frac{dy}{dx} = y^2 - x^2$$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$।

समतल में मूल बिंदु पर $Y$-अक्ष को स्पर्श करने वाले वृत्तों के परिवार के संगत अवकल समीकरण है:

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वह अवकल समीकरण जिसका हल $y=e^{ax}$ है,है

$4$ त्रिज्या वाले सभी वृत्तों के अवकल समीकरण की कोटि . . . . . . है।

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