બિંદુ $(-1, 2, 3)$ નું સમતલ $\vec{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 10$ થી રેખાઓ $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(2\hat{i} + \hat{k})$ અને $\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j}) + \mu(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતરની રેખાને સમાંતર અંતર કેટલું છે?

ધન દિશા કોસાઇન ધરાવતી એક રેખા બિંદુ $P(2,1,2)$ માંથી પસાર થાય છે અને યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે. આ રેખા સમતલ $2x+y+z=9$ ને બિંદુ $Q$ પર મળે છે. રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ $\qquad$ એકમ છે.

પ્રથમ અષ્ટમાંશ $(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ માં સ્થિત પિરામિડ $OPQRS$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે,અને $OP$ તથા $OR$ અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પર છે. પિરામિડનો પાયો $OPQR$ એ $OP=3$ ધરાવતો ચોરસ છે. બિંદુ $S$ એ વિકર્ણ $OQ$ ના મધ્યબિંદુ $T$ ની બરાબર ઉપર છે,જેથી $TS=3$ થાય. તો:

ધારો કે બિંદુ $P (3, -2, -9)$ માંથી બિંદુઓ $A (-1, -2, -3)$,$B (9, 3, 4)$,અને $C (9, -2, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ છે. તો ઉગમબિંદુથી $Q$ નું અંતર શોધો:

સમતલ $8x+y+2z=0$ અને બિંદુઓ $A(-3,-6,1)$ અને $B(2,4,-3)$ ને જોડતી રેખાનું છેદબિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $k:1$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. જો $a, b, c$ ($|a|, |b|, |c|$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે) એ બિંદુ $C$ માંથી રેખા $\frac{1-x}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z+2}{3}$ પર દોરેલા લંબના દિકગુણોત્તર હોય,તો $|a+b+c|$ ની કિંમત $.............$ છે.

રેખા $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$ અને $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \mu(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ ને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.