બિંદુ $(3, 4, 5)$ નું રેખા $\frac{x-3}{1} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-5}{2}$ અને સમતલ $x+y+z=2$ ના છેદબિંદુથી અંતર કેટલું છે ($\text{એકમ}$ માં)?

ધારો કે $\overrightarrow{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$. ધારો કે $L_1: \overrightarrow{r} = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda \overrightarrow{a}, \lambda \in R$ અને $L_2: \overrightarrow{r} = (\hat{j} + \hat{k}) + \mu \overrightarrow{b}, \mu \in R$ બે રેખાઓ છે. જો રેખા $L_3$ એ $L_1$ અને $L_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ ને સમાંતર છે,તો $L_3$ કયા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે?

જો $P(3, 2, 6)$ અવકાશમાં એક બિંદુ હોય અને $Q$ એ રેખા $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(-3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k})$ પરનું બિંદુ હોય,તો $\mu$ ની કઈ કિંમત માટે સદિશ $\vec{PQ}$ એ સમતલ $x - 4y + 3z = 1$ ને સમાંતર થાય?

સમતલો $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=7$ અને $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k})=9$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા અને બિંદુ $(2,1,3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $P$ એ સમતલ $x-y+z=3$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(3, 1, 7)$ નું પ્રતિબિંબ છે. તો $P$ માંથી પસાર થતા અને સુરેખા $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ ને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

અસમતલીય સદિશો $a, b$ અને $c$ માટે, જો રેખા $r=a+t(b-c)$ અને સમતલ $r=b+c+x(a-b)+y(c+a)$ નું છેદબિંદુ $l a+m b+n c$ હોય, તો $3 l+4 m+2 n=$