$f(x) = \frac{-5}{4x^2+1} + \sqrt{x^2-4}$ द्वारा परिभाषित फलन का प्रांत (domain) है

मान लीजिए $f(x)=\sqrt{2-x-x^2}$ और $g(x)=\cos x$ है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$I$. $f((g(x))^2)$ का प्रांत = $f(g(x))$ का प्रांत
$II$. $f(g(x)) + g(f(x))$ का प्रांत = $g(f(x))$ का प्रांत
$III$. $f(g(x))$ का प्रांत = $g(f(x))$ का प्रांत
$IV$. $g((f(x))^3)$ का प्रांत = $f(g(x))$ का प्रांत

यदि फलन $f(x) = \log_e \left( \frac{2x+3}{4x^2+x-3} \right) + \cos^{-1} \left( \frac{2x-1}{x+2} \right)$ का प्रांत (domain) $(\alpha, \beta]$ है,तो $5\beta - 4\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = \frac{x^2+x+2}{x^2+x+1}, x \in R$ का परिसर (range) है

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है, तो फलन $f(x) = \sqrt{\frac{x-[x]}{\log(x^2-x)}}$ का प्रांत (domain) क्या है?

$f(x) = \sqrt{\frac{1-|x|}{2-|x|}}$ का परिभाषा का प्रांत ज्ञात कीजिए: (यहाँ $(a, b) = \{x : a < x < b\}$ और $[a, b] = \{x : a \leq x \leq b\}$)