એક ઉપવલય (ellipse) જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ છે,તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) $1/2$ છે. જો તેની એક નિયામિકા (directrix) $x=4$ હોય,તો ઉપવલયનું સમીકરણ શું થાય?

ધારો કે $(1,0)$ કેન્દ્ર અને $\frac{1}{2}$ લંબાઈની નાભિલંબ ધરાવતા ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે. જો તેની ગૌણ અક્ષ નાભિ આગળ $60^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે,તો તેની ગૌણ અક્ષ અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈના સરવાળાનો વર્ગ $...........$ થાય.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b$,ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{4}$ છે. જો આ ઉપવલય બિંદુ $\left(-4 \sqrt{\frac{2}{5}}, 3\right)$ માંથી પસાર થાય,તો $a^{2}+b^{2}$ ની કિંમત શોધો.

વર્તુળ $x^2 + y^2 = 49$ પરના બિંદુઓમાંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{24} = 1$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો હશે?

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબના એક અંત્યબિંદુ આગળનો અભિલંબ એ પ્રધાન અક્ષના એક અંત્યબિંદુમાંથી પસાર થતો હોય,તો:

$x = 3(\cos t + \sin t)$ અને $y = 4(\cos t - \sin t)$ દ્વારા દર્શાવેલ વક્રની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.