સમીકરણ 16x^4 + 16x^3 - 4x - 1 = 0 ને એક બહુવિ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ સમીકરણ $f(x) = 16x^4 + 16x^3 - 4x - 1 = 0$ છે. તેને બહુવિધ બીજ હોવાથી,ધારો કે $\alpha$ એ બહુવિધ બીજ છે. તેથી $f(\alpha) = 0$ અને $f'(\alpha)

Vedclass · Accepted Answer

$64$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ સમીકરણ $f(x) = 16x^4 + 16x^3 - 4x - 1 = 0$ છે. તેને બહુવિધ બીજ હોવાથી,ધારો કે $\alpha$ એ બહુવિધ બીજ છે. તેથી $f(\alpha) = 0$ અને $f'(\alpha) = 0$. $f'(x) = 64x^3 + 48x^2 - 4$. $f'(\alpha) = 0$ લેતા $16\alpha^3 + 12\alpha^2 - 1 = 0$ મળે. $f(\alpha) = 16\alpha^4 + 16\alpha^3 - 4\alpha - 1 = 0$ માં $16\alpha^3 = 1 - 12\alpha^2$ મૂકતા $16\alpha^4 + (1 - 12\alpha^2) - 4\alpha - 1 = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $16\alpha^4 - 12\alpha^2 - 4\alpha = 0$ થાય. અવયવ પાડતા $4\alpha(4\alpha^3 - 3\alpha - 1) = 0$ મળે. $\alpha 
eq 0$ હોવાથી,$4\alpha^3 - 3\alpha - 1 = 0$ ઉકેલતા $(\alpha - 1)(2\alpha + 1)^2 = 0$ મળે. $\alpha = 1$ ને $f(x)$ માં મૂકતા $16+16-4-1 
eq 0$ મળે છે. તેથી,$\alpha = -\frac{1}{2}$ એ બહુવિધ બીજ છે. $f(x)$ ને $(x + \frac{1}{2})^2 = (x^2 + x + \frac{1}{4})$ વડે ભાગતા,$16x^2 - 4 = 0$ મળે,તેથી $x = \pm \frac{1}{2}$. બીજ $\alpha = -\frac{1}{2}, \beta = -\frac{1}{2}, \gamma = -\frac{1}{2}, \delta = \frac{1}{2}$ છે. તેથી $\frac{1}{\alpha^4} + \frac{1}{\beta^4} + \frac{1}{\gamma^4} + \frac{1}{\delta^4} = (-2)^4 + (-2)^4 + (-2)^4 + (2)^4 = 16 + 16 + 16 + 16 = 64$.

સમીકરણ $16x^4 + 16x^3 - 4x - 1 = 0$ ને એક બહુવિધ બીજ છે. જો $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ આ સમીકરણના બીજ હોય,તો $\frac{1}{\alpha^4} + \frac{1}{\beta^4} + \frac{1}{\gamma^4} + \frac{1}{\delta^4} =$

Similar Questions

નીચેનામાંથી કઈ શરત સૂચવે છે કે સમીકરણ $\frac{1}{4}x^2 + bx + c = 0$ ના બીજ પૂર્ણાંક છે?

$x^5-5x^4+9x^3-9x^2+5x-1=0$ સમીકરણના અસંમેય બીજોનો તફાવત શોધો.

જો $f(x)=2 x^4-13 x^2+a x+b$ એ $x^2-3 x+2$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો $(a, b)$ ની કિંમત શોધો.

$\alpha$ ના તમામ ભિન્ન પૂર્ણાંક મૂલ્યોનો સરવાળો શોધો જેથી સમીકરણ $x^2 - \alpha x + \alpha + 1 = 0$ ના બીજ પૂર્ણાંક હોય:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module