बिंदुओं $(3, 2, 2)$ और $(1, 0, -1)$ से गुजरने वाले और रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - 2}{3}$ के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

वह बिंदु जहाँ रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{4}$ समतल $2x+4y-z=1$ से मिलती है,है:

मान लीजिए $P(2,1,5)$ अंतरिक्ष में एक बिंदु है और $Q$ रेखा $\vec{r}=(\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})+\mu(-3\hat{i}+\hat{j}+5\hat{k})$ पर एक बिंदु है। तो $\mu$ का वह मान जिसके लिए सदिश $\vec{PQ}$ समतल $3x-y+4z=1$ के समांतर है,क्या होगा?

रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}) = 8$ के बीच का न्यून कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n} = 2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}$ है। यदि $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)$ है, तो $p$ का/के मान है/हैं:

मान लीजिए $P$ वह समतल है जो समतलों $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 5$ और $\overrightarrow{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 3$ के प्रतिच्छेदन और बिंदु $(2, 1, -2)$ से होकर गुजरता है। मान लीजिए बिंदुओं $X$ और $Y$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ और $5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ हैं। तो बिंदु:

समतलों $5x + 8y + 13z - 29 = 0$ और $8x - 7y + z - 20 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और क्रमशः बिंदुओं $(2, 1, 3)$ और $(0, 1, 2)$ से गुजरने वाले समतलों $P_{1}$ और $P_{2}$ के बीच का न्यून कोण ज्ञात कीजिए।