फलन f(x) = frac{ln(pi+x)}{ln(e+x)} है | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = \frac{\ln(\pi+x)}{\ln(e+x)}$.भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{\ln(e+x) \cdot \frac{1}{\pi+x} - \ln(\pi+x) \cdot \frac{1}{e

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$(0, \infty)$ पर ह्रासमान।

Vedclass · Answer

(C) माना $f(x) = \frac{\ln(\pi+x)}{\ln(e+x)}$.भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{\ln(e+x) \cdot \frac{1}{\pi+x} - \ln(\pi+x) \cdot \frac{1}{e+x}}{[\ln(e+x)]^2}$.अंश को सरल करने पर,$f'(x) = \frac{(e+x)\ln(e+x) - (\pi+x)\ln(\pi+x)}{(\pi+x)(e+x)[\ln(e+x)]^2}$.फलन $g(t) = t \ln(t)$ पर विचार करें। इसका अवकलज $g'(t) = 1 + \ln(t)$ है। $t > 1$ के लिए,$g'(t) > 0$,इसलिए $g(t)$ एक वर्धमान फलन है।चूंकि $\pi > e > 1$,$x > 0$ के लिए,$\pi+x > e+x > e > 1$ है।चूंकि $g(t)$ वर्धमान है,$g(\pi+x) > g(e+x)$,जिसका अर्थ है कि $(\pi+x)\ln(\pi+x) > (e+x)\ln(e+x)$।इसलिए,$(e+x)\ln(e+x) - (\pi+x)\ln(\pi+x) चूंकि हर $x > 0$ के लिए हमेशा धनात्मक है,$f'(x) अतः,$f(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ पर ह्रासमान है।

फलन $f(x) = \frac{\ln(\pi+x)}{\ln(e+x)}$ है

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