फलन f(x) = x e^{-x}, forall x in R का अधिकतम | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = x e^{-x}$ है।क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके प्रथम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:$f

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(A) दिया गया फलन $f(x) = x e^{-x}$ है।क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके प्रथम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:$f'(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$.उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:$e^{-x}(1 - x) = 0$.चूंकि किसी भी $x \in R$ के लिए $e^{-x} 
eq 0$,इसलिए $1 - x = 0$,जिससे $x = 1$ प्राप्त होता है।अब,उच्चिष्ठ की जांच करने के लिए हम द्वितीय अवकलज $f''(x)$ निकालते हैं:$f''(x) = \frac{d}{dx}[e^{-x} - x e^{-x}] = -e^{-x} - [e^{-x} - x e^{-x}] = e^{-x}(x - 2)$.$x = 1$ पर मान रखने पर:$f''(1) = e^{-1}(1 - 2) = -e^{-1} चूंकि $x = 1$ पर द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए फलन $x = 1$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है।

फलन $f(x) = x e^{-x}, \forall x \in R$ का अधिकतम मान $x$ के किस मान पर प्राप्त होता है?

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